"LA DESIGUALDAD DE FABER-KRAHN PARA EL PRIMER VALOR PROPIO PARA EL p-LAPLACIANO DIRICHLET FRACCIONARIO PARA TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS"
Mg. Franco Olivares Contador, Doctorado Matemática UDEC
"El problema isoperimétrico clásico dice lo siguiente: “entre todos los conjuntos de un volumen dado el que tiene la menor superficie es la bola”. Siguiendo la línea de este problema, se ha estudiado la llamada desigualdad de Faber-Krahn: “entre todos los conjuntos de un mismo volumen el que minimiza el primer valor propio Laplaciano Dirichlet es la bola”. Dado que la bola es el conjunto más simétrico para un volumen dado, Pólya y Szegö conjeturaron que entre todos los polígonos de n-lados de área dada, el polígono regular minimiza el primer valor propio del Laplaciano Dirichlet.
A pesar de que la conjetura es fácil de intuir, sólo se ha demostrado para los casos n = 3 y n = 4. Para n ≥ 5, está aún abierta. Hace un tiempo se ha generado interés por el estudio de la desigualdad de Faber-Krahn para variantes del Laplaciano. En este contexto, los resultados anteriores han sido generalizados para el p Laplaciano (local o clásico). Recientemente, se ha estudiado fuertemente versiones no locales del Laplaciano. En esta línea, se ha demostrado la desigualdad de Faber-Krahn para p-Laplaciano Fraccionario Dirichlet.
Motivados por este resultado y la conjetura de Pólya y Szegö, en este coloquio se expondrá el resultado de mi trabajo consistente en la desigualdad de Faber-Krahn restringida a triángulos y cuadriláteros de una misma área para p-Laplaciano Fraccionario con condiciones de Dirichlet sobre la frontera. Para demostrar dicho resultado, se usa herramientas clásicas, como la simetrización de Steiner, pero también requiere una cuidada adaptación de la desigualdad de Pólya y Szegö no local para la simetrización de Steiner y un resultado de continuidad del primer valor propio con respecto a la métrica de Hausdorff complementaria. Para finalizar esta charla, se hablará de una extensión del problema al operador de Riesz".