Una historia breve del calculo El Calculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como e l instrumento mas efectivo para la investigacion cientıfica que jamas hayan producido las matematicas.

El ingles Isaac Newton y el aleman Gottfried Wilhelm Leibniz , quienes publicaron sus investigaciones entre los años de 1680 y 1690. Al trabajo independiente de los dos matematicos el calculo es la invencion que caracteriza la revolucioncientifica del siglo XVII.

Isaac Newton (1642-1727

El calculo se desarrollo a partir de las tecnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos de problemas: el calculo de areas y volumenes y el calculo de tangentes a curvas. Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos antiguos, habia realizado los avances mas significativos sobre esos problemas, aplicando el metodo exhaustivo o de agotamiento para la determinacion de areas y volumenes.

A partir de la utilización del método cartesiano para sintetizar los resultados y técnicas desarrollados previamente para el cálculo de áreas y tangentes de curvas, Newton y Leibniz inventaron los métodos y algoritmos que hacen del cálculo una herramienta aplicable a clases generales de problemas.

ejemplo de algoritmo.

En la presentación de sus ideas, Newton recurre a argumento s basados en el movimiento y la dinámica de los cuerpos. Así, las variables son vistas como algo que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o razón de cambio con respecto al tiempo la llama su fluxión.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

De varios años de estudio bajo la dirección de Huygens, Leibniz investigo las relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de números y dedujo varias fórmulas famosas.

Leibniz se interesó en las cuestiones de lógica y de notación para la investigación formal, y su cálculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las matemáticas, de un sistema de notación y terminología perfectamente adaptado a su objeto de estudio.

calculo integral

Su primera publicación sobre el cálculo diferencial apareció en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el tıtulo Un nuevo método para máximos y mínimos así como para el cálculo de tangentes que incluyen cantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de cálculo para todo esto. En este artıculo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas b ́asicas del cálculo diferencial d(x+y) = dx+ dy y d(xy) =xdy+ydx.

Dos años después, pública su segundo artículo Sobre una geometría oculta, donde introduce y explica el significado del símbolo R de integración y aplica el poder del cálculo para estudiar curvas trascendentes y deriva una formula analítica para la cicloide.

Letra con la que se representan.

El vigoroso empuje de Leibniz al estudio y desarrollo del nuevo cálculo, el espíritu didáctico de sus escritos y su habilidad para relacionarse con otros investigadores contribuyeron a fortalecer su gran influencia en las matemáticas.

Es considerado el matemático m ́as prolífico de todos los tiempos, sus obras abarcan casi setenta y cinco volúmenes y contienen contribuciones fundamentales a casi todas las ramas de las matemáticas y sus aplicaciones.

La obra de Euler en dos volúmenes intitulada Introducción al análisis infinitesimal, publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado Análisis Matemático como rama de esta disciplina, análoga aĺ Algebra y la Geometría

En esa gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistemático de las funciones exponenciales y de las funciones trigonométricas como funciones numéricas, así como el estudio de las funciones transcendentes elementales mediante sus desarrollos en series infinitas

El matemático Joseph Louis LaGrange, quien a la muerte de Euler, en1783, lo reemplazo como el matemático líder de Europa. Aplicando métodos puramente analíticos, LaGrange extendió y perfecciono el Cálculo de Variaciones y a partir de sus aplicaciones a la mecánica, sentó los fundamentos de la llamada Mecánica Analítica.

Joseph-Louis LaGrange (1736-1813).

Los argumentos basados en la teoría de fluxiones de Newton y en la idea de infinitamente pequeño mostraban serias inconsistencias que fueron puntualmente señaladas por el obispo anglicano irlandés George Berkeley en 1734.

Afrontando la situacion anterior, LaGrange público en 1797 su obra Teoría de funciones analíticas en la cual pretende presentar un desarrollo completo del cálculo de funciones sin recurrir a los conceptos de lımite o de cantidad infinitesima.

El enfoque de LaGrange se basa en considerar que las funciones son representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de los distintos órdenes. En este tratado, LaGrange sienta las bases para la aproximación de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo de LaGrange.

Al finalizar el siglo XVIII, los matemáticos habían ya detectado distintas limitaciones e incongruencias en las bases sobre las que se había desarrollado hasta entonces el cálculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teoría Analítica del Calor, de 1807, remitían a la necesidad de considerar clases m ́as amplias de funciones que las meramente representables como series de potencias a la manera de LaGrange.

El matemático francés Augustín Louis Cauchy quien desarrolla en su generalidad la teoría de funciones continuas y formula los conceptos y procesos fundamentales del cálculo para ese tipo de funciones en los términos en que actualmente se presentan.

Augustín Louis Cauchy (1789-1857

En sus tres grandes obras Curso de Análisis (1821), Resumen de Lecciones sobre el Cálculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el Cálculo Diferencial (1829), Cauchy hace una exposición rigurosa del cálculo basándose en el concepto fundamental de lımite de una función.

En particular, define la derivada de una función como el lımite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestra sus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones a la aproximación de funciones por polinomios; establece rigurosamente los criterios para la existencia de máximos y mínimos de funciones.

El siguiente avance en la evolución histórica del cálculo, se debe a Bernhard F.Riemann , quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el desarrollo del cálculo, extendiendo el proceso de integración a este tipo de funciones, con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, área y volumen de conjuntos.

Bernhard F.Riemann(1826-1866)

A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al análisis matemático de bases sólidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de los números reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las funciones continuas, y otras suposiciones.

Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el desarrollo del análisis: la integral de Lebesgue, debida al francés Henri Lebesgue (1875-1941), y el Análisis no Estándar, debido básicamente a Abraham Robinson (1918-1974).

Henri Lebesgue(1875-1941)

El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas, pero aunque ́este fue generalizado después, por Riemann, a funciones con cierto tipo de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los procesos de convergencia y de lımite de sucesiones de funciones, lo que restringe su aplicabilidad a otras ramas de la matemática.

La integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann, que se obtiene como el lımite de integrales de funciones que toman valores constantes sobre intervalos.

La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propiedades inmejorables para los propósitos del análisis matemático en tanto que lımites de sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resultan ser también funciones integrables. La nueva teoría de la medida e integración sienta las bases para el desarrollo de la Teoría Matemática de la Probabilidad y la Estadística, que tanta importancia tienen en la ciencia actual.

provabilidad y estadistica.

Aunque la nueva formulación de Robinson da lugar a un cálculo más simple, la construcción de los números hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se expone el cálculo no estándar no han logrado tener éxito en los niveles matemáticos medio y básico.

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