Una historia breve del cálculo

1.1 El siglo XVII: El cálculo diferencia e integral ha sido reconocido como es instrumento más efectivo para las investigaciones científicas que jamas hayan reproducido las matemáticas.

El cálculo se desarrollo a partir de las técnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos de problemas: el cálculo en áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas.

1.2 El siglo XVIII: el denominado "El siglo del análisis matemático" de 1700 a 1800 se dio la consolidación de cálculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la Mecánica, Con ese desarrollo, vino la especialización y el nacimiento de nuevas ramas matemáticas, tales como; Teoría de ecuaciones diferenciales, ordinarias y parciales, el calculo de variaciones, la teoría de series y la geometría diferencial.

El análisis Matemático es construido a partir del concepto fundamental de función y de los procesos infinitos desarrollados para representación y estudios de las funciones. Es una gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistemático de las funciones exponenciales y de las funciones trigonométricas como funciones numéricas, así como el estudio de las funciones transcendentales elementales mediante sus desarrollos en series infinitas. El enfoque analítico de Euler recibió un impulso de la otra gran figura del siglo XVIII, el matemático Joseph Louis tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazo como el matemático líder de Europa, aplicando métodos puramente analíticos, En 1788 se publico su famoso tratado "Mecánica analítica" en donde, aplicando las ideas del calculo de variaciones, presenta los fundamentos analíticos de la mecánica. En el prefacio de su tratado, Legrange declara que en su exposición sólo recurre a argumentos analíticos , sin dibujos, figuras o razonamientos mecánicos. Legrange hace de la mecánica una rama de análisis matemático.

El enfoque de Legrange se basa en considerar que las funciones son representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de los distintos órdenes. En este tratado, Legrange sienta las bases para la aproximación de funciones por polinomios y da forma del residuo denominada Residuo de Legrange.

1.3 El siglo XIX: Al finalizar el siglo XVIII, los matemáticos habían ya detectado distintas limitaciones e incongruencias en la base sobre las que había desarrollado hasta entonces el cálculo diferencial e integral, Teoría Analítica del Calor, remitía a la necesidad de considerar clases mas amplias de funciones que las meramente representables como series de potencias a la manera de Legrange. En ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de integrabilidad de las funciones, así como las condiciones de convergencia para serie de funciones.

El siguiente avance en la historia de la evolución del calculo, se debe a Bernhard F. (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente descontinuas en el desarrollo del cálculo, extendiendo el proceso de integración a este tipo de funciones, con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, área y volumen de conjuntos. La construcción de los números reales en el paso decisivo hacia la aritmetización del análisis matemático, que permite el mismo Karl Weierstrass dar la definición de límite en términos de las meras estructuras algebraicas y de orden de los números reales, y con ello los conceptos y procesos propios del cálculo quedan debidamente justificados y adquieren la presentación definitiva con que hoy son expuestos en los libros de texto y demás trabajos matemáticos.

1.4 El siglo XX: El siglo XX registra dos nuevos avances en el desarrollo del análisis: La integral de Lebesgue y el Análisis no-Estándar. Lebesge introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para las cuales adquiere sentido una nueva definición de integral, definida como el límite de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. en este sentido Lebesge es una generación de la integral de Riemann, que se obtiene con el límite de integrales de funciones que toman valores constantes sobre intervalos.

La clase de funciones integrables en el sentido de Lebesge tiene propiedades in mejoradas para los propósitos del análisis matemático en tanto que límites de sucesiones y seres convergentes de este tipo resultan ser también funciones integrables.

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Siul Ramírez
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