Historia del Calculo Una historia breve del calculo

El siglo XVII: Newton y Leibniz

El Calculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento m´as efectivo

para la investigaci´on cient´ıfica que jam´as hayan producido las matem´aticas. Concebido

para el estudio del cambio, el movimiento y la medici´on de ´areas y vol´umenes,

el calculo es la invenciónon que caracteriza la revolución científica del siglo XVII.

Su creaci´on se debe al trabajo independiente de dos matem´aticos, el ingl´es Isaac

Newton (1642-1727) y el alem´an Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes

publicaron sus investigaciones entre los a˜nos de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la

revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Mathematica

Philosophiae Naturalis.

Sir Isaac Newton

(1642–1727)

Gotfried Whilhelm Leibniz

(1646–1716)

El c´alculo se desarroll´o a partir de las t´ecnicas infinitesimales utilizadas para

resolver dos tipos de problemas: el c´alculo de ´areas y vol´umenes y el c´alculo de

tangentes a curvas. Arqu´ımedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos antiguos,

hab´ıa realizado los avances m´as significativos sobre esos problemas, aplicando

el metodo exhaustivo o de agotamiento para la determinaci´on de areas y volumenes

y obteniendo importantes resultados sobre el c´alculo de tangentes para ciertas curvas

particulares. En la primera mitad del siglo XVII, se renov´o el inter´es por esos

problemas cl´asicos y varios matem´aticos como Bonaventura Cavalieri (1598-1647),

John Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (1602-

1675) e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino para

la obra de Leibniz y Newton.

A partir de la utilizaci´on del m´etodo cartesiano1 para sintetizar los resultados y

t´ecnicas desarrollados previamente para el c´alculo de ´areas y tangentes de curvas,

Newton y Leibniz inventaron los m´etodos y algoritmos que hacen del c´alculo una

herramienta aplicable a clases generales de problemas. Sus contribuciones en la

creaci´on del c´alculo difieren en origen, desarrollo e influencia y merecen ser tratadas

separadamente.

Newton, hijo de granjeros, naci´o en Lincolnshire, Inglaterra, en el d´ıa de Navidad

de 1642 y lleg´o en 1669 a ocupar, en la Universidad de Cambridge, la C´atedra

Lucasiana como profesor de matem´aticas. En sus primeras investigaciones introdujo

las series infinitas de potencias en una variable x para reformular resultados previos

de John Wallis y bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utiliz´o infinitesimales

para mostrar la relaci´on inversa entre el c´alculo de ´areas y el c´alculo de tangentes.

Las operaciones de derivaci´on e integraci´on de funciones y su relaci´on rec´ıproca,

emergen como un proceso anal´ıtico que puede ser aplicado al estudio general de las

curvas.

En la presentaci´on de sus ideas, Newton recurre a argumentos basados en el

movimiento y la din´amica de los cuerpos. As´ı, las variables son vistas como algo

que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o raz´on de cambio con

respecto al tiempo la llama su fluxi´on. El problema b´asico del c´alculo es, para

Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newton

concluye su tratado sobre el m´etodo de fluxiones que no es publicado sino hasta

1736, casi diez a˜nos despu´es de su muerte, ocurrida en 1727.

En su libro Principios Matem´aticos de la Filosof´ıa Natural, escrito en 1687, Newton

estudia la din´amica de las part´ıculas y establece las bases matem´aticas para el

c´alculo de razones de cambio mediante una teor´ıa geom´etrica de los l´ımites. Utilizando

estos conceptos, desarrolla su teor´ıa de gravitaci´on y reformula las leyes de

Kepler para el movimiento de los cuerpos celestes. En su libro, Newton expresa magnitudes

y razones de cambio en t´erminos de cantidades geom´etricas, tanto de tipo

finito como infinitesimal, tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguaje

algebraico. Esta reticencia de Newton a usar los m´etodos algebraicos, limit´o su

influencia en el campo de las matem´aticas e hizo necesario reformular sus contribuciones

en t´erminos del c´alculo de Leibniz.

G. W. Leibniz fue el hijo de un profesor de filosof´ıa y naci´o en la ciudad de

Leipzig, Alemania, en 1646. Ingres´o a la universidad a la edad de quince a˜nos y

obtuvo el doctorado en filosof´ıa a la edad de 21 a˜nos. El inter´es de Leibniz por las

matem´aticas naci´o en 1672 durante una visita a Par´ıs, donde el matem´atico holand´es

Christiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teor´ıa de curvas. Despu´es

de varios a˜nos de estudio bajo la direcci´on de Huygens, Leibniz investig´o las

relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de n´umeros y dedujo

varias f´ormulas famosas.

Leibniz se interes´o en las cuestiones de l´ogica y de notaci´on para la investigaci´on

formal, y su c´alculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las

matem´aticas, de un sistema de notaci´on y terminolog´ıa perfectamente adaptado a

su objeto de estudio. En el sentido anterior, Leibniz formaliz´o, con su notaci´on,

las propiedades y reglas fundamentales de los procesos de derivaci´on e integraci´on,

haciendo de su aplicaci´on a los m´as variados problemas, un ejercicio de rutina que un

estudiante puede aprender desde sus primeros a˜nos. Su primera publicaci´on sobre el

c´alculo diferencial apareci´o en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el t´ıtulo Un nuevo

m´etodo para m´aximos y m´ınimos as´ı como para el c´alculo de tangentes que incluyen

cantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de c´alculo para

todo esto. En este art´ıculo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas b´asicas

del c´alculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx. Dos a˜nos despu´es,

publica su segundo art´ıculo Sobre una geometr´ıa oculta, donde introduce y explica

el significado del s´ımbolo R

de integraci´on y aplica el poder del c´alculo para estudiar

curvas trascendentes y deriva una f´ormula anal´ıtica para la cicloide.

El siglo XVIII: Euler y Lagrange

El siglo XVIII es denominado “El siglo del An´alisis Matem´atico”. De 1700 a 1800 se

di´o la consolidaci´on del c´alculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente

a la Mec´anica. Con ese desarrollo, vino la especializaci´on y el nacimiento

de nuevas ramas de las matem´aticas, tales como: la Teor´ıa de Ecuaciones Diferenciales, ordinarias y parciales, el C´alculo de Variaciones, la Teor´ıa de Series y

la Geometr´ıa Diferencial. Las aplicaciones del an´alisis incluyen ahora la Teor´ıa de

Vibraciones, la Din´amica de Part´ıculas, la Teor´ıa de Cuerpos R´ıgidos, la Mec´anica

de Cuerpos El´asticos y Deformables y la Mec´anica de Fluidos. A partir de entonces,

se distinguen las matem´aticas puras de las matem´aticas aplicadas.

El desarrollo del an´alisis matem´atico en el siglo XVIII est´a documentado en los

trabajos presentados en las Academias de Par´ıs, Berl´ın, San Petersburgo y otras, as´ı

como en los tratados expositorios publicados en forma independiente. Las figuras

dominantes de este periodo son el matem´atico suizo Leonhard Euler (1707-1783) y

el matem´atico italo-frances Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

La obra de Euler en dos vol´umenes intitulada Introducci´on al an´alisis infinitesimal,

publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado An´alisis Matem´atico

como rama de esta disciplina, an´aloga al Algebra y la Geometr´ıa. El An´alisis ´

Matem´atico es construido a partir del concepto fundamental de funci´on y de los

procesos infinitos desarrollados para la representaci´on y estudio de las funciones.

En esa gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistem´atico de las funciones

exponenciales y de las funciones trigonom´etricas como funciones num´ericas,

as´ı como el estudio de las funciones transcendentes elementales mediante sus desarrollos

en series infinitas. A esa primera obra de Euler, siguieron dos obras m´as, en

1755 y 1768, sobre el c´alculo diferencial e integral, respectivamente, que constituyen

la fuente original de los actuales libros y textos sobre el c´alculo y las ecuaciones

diferenciales.

Para fines del siglo XVIII hab´ıa preocupaci´on en Europa por los fundamentos

del c´alculo y del an´alisis. Los argumentos basados en la teor´ıa de fluxiones de

Newton y en la idea de infinitamente peque˜no mostraban serias inconsistencias que

fueron puntualmente se˜naladas por el obispo anglicano irland´es George Berkeley

(1685-1753) en 1734. Afrontando la situaci´on anterior, Lagrange public´o en 1797

su obra Teor´ıa de funciones anal´ıticas en la cual pretende presentar un desarrollo

completo del c´alculo de funciones sin recurrir a los conceptos de l´ımite o de cantidad

infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son

representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de

los distintos ´ordenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproximaci´on

de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo

de Lagrange.

El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass

Al finalizar el siglo XVIII, los matem´aticos hab´ıan ya detectado distintas limitaciones

e incongruencias en las bases sobre las que se hab´ıa desarrollado hasta entonces el

c´alculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la

cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teor´ıa Anal´ıtica del Calor,

de 1807, remit´ıan a la necesidad de considerar clases m´as amplias de funciones que

las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En

ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de

integrabilidad de las funciones, as´ı como las condiciones de convergencia para series

de funciones.

iemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el

desarrollo del calculo, extendiendo el proceso de integracion a este tipo de funciones,

con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´area y volumen

de conjuntos.

El siglo XX: Lebesgue y Robinson

Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el

desarrollo del an´alisis: la integral de Lebesgue, debida al franc´es Henri Lebesgue

(1875-1941), y el An´alisis no-Est´andar, debido b´asicamente a Abraham Robinson

(1918-1974).

El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas,

pero aunque ´este fue generalizado despu´es, por Riemann, a funciones con cierto tipo

de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los

procesos de convergencia y de l´ımite de sucesiones de funciones, lo que restringe su

aplicablidad a otras ramas de la matem´atica.

Basado en trabajos del italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del franc´es Camille

Jordan (1838-1922), Henri Lebesgue logr´o dar, en 1920, una definici´on de conjunto

medible y de medida que generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y de

longitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos,

Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para

las cuales adquiere sentido una nueva definici´on de integral, definida como el l´ımite

de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. En

este sentido, la integral de Lebesgue es una generalizaci´on de la integral de Riemann,

que se obtiene como el l´ımite de integrales de funciones que toman valores constantes

sobre intervalos.

El otro desarrollo importante del an´alisis del siglo XX fu´e presentado en 1960 por

Abraham Robinson, seguido de su libro An´alisis no Est´andar, en el que se retoma

el problema de la aritmetizaci´on del an´alisis a partir del concepto de n´umero y de

magnitud infinitamente peque˜na. A partir de construcciones basadas en la teor´ıa

de conjuntos, Robinson introdujo el concepto de n´umero hiperreal con lo que logra

dar un significado preciso a los “infinitamente peque˜nos” que Euler usaba en sus

argumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de l´ımite y de convergencia del

an´alisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en

la clase de los n´umeros hiperreales.

Aunque la nueva formulaci´on de Robinson da lugar a un c´alculo m´as simple, la

construcci´on de los n´umeros hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se

expone el c´alculo no est´andar no han logrado tener ´exito en los niveles matem´aticos

medio y basico.

Credits:

Created with images by Stifts- och landsbiblioteket i Skara - "Isaac Newton" • Stifts- och landsbiblioteket i Skara - "Joh Gotfried Jugel"

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