FUNDAMENTOS DEL CALCULO (Una breve historia del cálculo) "BAUTISTA ALARCON DIANA CECILIA "4AS

Antes del Calculo, las matematicas solo servian para describir lo fijo y estatico, con el se pudo describir el movimiento y lo dinamico estableciendo una comparacion resolver y unificar los problemas de calculo de areas y volumenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtencion de valores maximos y minimos, proporcionando una metodologia general para la solucion de todos estos problemas En primer lugar, ha sido escrito en un lenguaje llano y familiar, con un buen numero de observaciones y notas que buscan motivar y explicar el sentido de los conceptos y resultados y llamar la atenci´on sobre puntos y detalles importantesEl capitulo segundo esta dedicado a una presentaci´on del sistema de los numeros reales y sus propiedades a partir de su representaci´on como expansiones decimales.El capitulo tercero esta dedicado al concepto de función, el cual se introduce como una relación entre variables o atributos, para después abstraer su esencia como regla de correspondencia entre conjuntos de números reales.En el capitulo cuarto se introducen los Fundamentos del Calculo a partir de los conceptos de sucesion y convergencia; se incluyen demostraciones completas de los principales resultados basicos del an´alisis matematico.El capitulo quinto aborda el concepto de derivada de una funcion en un punto como la razon de cambio puntual o instantanea.El capitulo sexto muestra, a traves del teorema del valor medio y sus consecuencias,el poder de la derivada en la descripcion cualitativa del comportamiento de las funciones.En el capitulo septimo se caracteriza la funcion exponencial a partir de las propiedades de su funcion derivada.El capıtulo octavo, donde se aborda el problema del calculo de antiderivadas o integrales indefinidas.El capitulo noveno se estudia el concepto de integral de Riemann y sus propiedades cuando se aplica a funciones continuas.En el capitulo decimo se incluyen algunas de las aplicaciones mas comunes de la integral al calculo de areas y volumenes.El undecimo capitulo constituye a la vez una introduccion a las ecuaciones diferenciales y un ejemplo mas elaborado de la aplicacion del Calculo

Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos antiguos,habia realizado los avances mas significativos sobre esos problemas, aplicando el metodo exhaustivo o de agotamiento para la determinacion de areas y volumenesLos orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento.En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol.Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz.realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observandoque dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:› Encontrar la tangente a una curva en un punto.› Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.› Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.› Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido

El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como una herramienta técnico :científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina para medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.

El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas,pero aunque este fue generalizado después, por Riemann, a funciones con cierto tipo de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los procesos de convergencia y de limite de sucesiones de funciones, lo que restringe su aplicabilidad a otras ramas de la matemática.

La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propiedades inmejorables para los propositos del analisis matematico en tanto que limitesde sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resultan ser tambien funciones integrables. La nueva teoria de la medida e integracion sienta las base para el desarrollo de la Teoria Matematica de la Probabilidad y la Estadistica, que tanta importancia tienen en la ciencia actual.El otro desarrollo importante del an´alisis del siglo XX fue presentado en 1960 porAbraham Robinson, seguido de su libro Analisis no Estandar, en el que se retoma el problema de la aritmetizaci´on del analisis a partir del concepto de numero y demagnitud infinitamente pequena. A partir de construcciones basadas en la teorıade conjuntos, Robinson introdujo el concepto de numero hiperreal con lo que logradar un significado preciso a los “infinitamente peque˜nos” que Euler usaba en sus argumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de limite y de convergencia del analisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en la clase de los numeros hiperreales

El sistema de los numeros reales es la estructura algebraica adecuada al proposito del calculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relacionesexpresables en terminos de este tipo de numeros, los objetos de estudio de esa rama de las matematicas. Las propiedades especiales del sistema de los numeros reales permiten definir los conceptos fundamentales para la descripcion y estudio del cambio y el movimiento.

para multiplicar las dos expansiones decimales A y B y formarla expansion decimal correspondiente al producto A · B, se procede como sigue:1. Se determina cuantos digitos a la izquierda del punto decimal tiene cada uno delos factores. Digamos que A tiene m digitos y B tiene n digitos a la izquierdadel punto decimal.2. Se multiplica la expansi´on truncada de orden n + 1 de A con la expansion truncada de orden m + 1 de B y la expansion truncada de orden cero del producto de estas ser´a la expansion truncada de orden cero de la expansion decimal de A · B,3. Para determinar la expansion truncada de orden r > 0 de A · B, se multiplicalas expansion truncada de orden n + r + 1 de A por la expansion truncada de orden m + r + 1 de B y la expansion truncada de orden r de ese producto de expansiones truncadas se toma como la expansion truncada de orden r delproducto A · B.

La derivada de una funcion real de variable real y = f(x) es el concepto queda sentido matematico a la razon de cambio puntual o movimiento instantaneo.Tomando en cuenta que, en una funcion, a cada variación de la variable independientecon respecto a un valor x0, corresponde una variacion de la variable dependientecon respecto al valor f(x0), la derivada define la razon de cambio puntual(o instantaneo) en x0 como el lımite de los cocientes de las variaciones de esasvariables cuando la variacion de la variable independiente tiende a cero.En el caso de la funcion de posicion de un cuerpo fısico con respecto al tiempo, la derivada corresponde a la nocion de velocidad instantanea, que ası resulta definida como el lımite de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya duracion tiende a cero. Las caracterısticas de la derivada hacen de esta el concepto adecuado para la formulacion de las leyes dinamicas en las ciencias naturales.

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