Frattali in Arte e Musica

Cosa sono i FRATTALI ???

Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scala diversa, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera.

Chi era MANDELBROT ???

Nato in Polonia da una famiglia ebrea di origini lituane, ha vissuto in Francia per buona parte della sua vita. La famiglia aveva una forte tradizione accademica: sua madre era laureata in medicina e suo zio Szolem Mandelbrot era un famoso matematico specialista in analisi matematica; suo padre si occupava della vendita di abiti. Nel 1936 la famiglia lasciò la Polonia per Parigi. A Parigi fu iniziato alla matematica dai suoi due zii, che contribuirono alla sua educazione e formazione, sia scientifica che umanistica. Mandelbrot scoprì il suo frattale quasi per caso nel 1979, mentre conduceva degli esperimenti per conto del Thomas J. Watson Research Center dell'IBM, dove, con l'aiuto della computer grafica, poté dimostrare che il lavoro di Julia del 1918, poteva essere uno dei frattali più affascinanti; una delle numerose curiosità del frattale di Mandelbrot è che esso comprende, pur nella sua semplicissima formula, anche il frattale di Julia. Mandelbrot muore il 14 ottobre 2010, all'età di 85 anni, a causa di un cancro del pancreas.

FRATTALI IN ARTE

I frattali non sono solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possono diventare addirittura oggetto di "arte".

ROSONI

Un rosone può essere definito come una figura piana in cui il gruppo di simmetria contiene un numero finito di trasformazioni.

La parte minima della figura che, presa singolarmente, permette di riprodurre l’intera figura attraverso le rotazioni (o le simmetrie assiali) del gruppo viene chiamata dominio fondamentale.

Le isometrie che portano un rosone in sé sono di due tipi:

- un gruppo ciclico che contiene solo rotazioni di centro O e di angoli sottomultipli dell’angolo giro.

- un gruppo diedrale che contiene tante rotazioni di centro O e angolo minimo, quante simmetrie assiali in rette passanti per O.

I gruppi dei rosoni sono i gruppi discreti e finiti di isometrie piane. Un gruppo di isometrie si dice discreto se non contiene né traslazioni né rotazioni arbitrariamente piccole.

Teorema del punto fisso: Un gruppo discreto di isometrie piane è finito se e solo se ha almeno un punto fisso, vale a dire un punto che viene trasformato in se stesso da tutte le isometrie del gruppo.

TORRE EIFFEL

Alla fine del 700' si organizzano, in Europa e in America, le Esposizioni Universali in cui ogni Paese mette in mostra il meglio della propria produzione industriale. Con l'introduzione del ferrosi riescono a costruire in tempi brevi enormi strutture, spesso smontabili e riutilizzabili. La Torre Eiffel è stata realizzata come simbolo dell'Esposizione Universale di Parigi da Gustave Eiffel.

La struttura della Torre Eiffel a Parigi è stata riecheggiata da un classico frattale, il triangolo di Sierpinski.

Il triangolo di Sierpiński si ottiene mediante il seguente metodo iterativo:

- prendere come figura di partenza un triangolo equilatero di lato unitario;

- eliminare dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente,ottenendo 3 triangoli di lato 1/2 ;

- ripetere l’operazione su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati ottenendo così 9 triangoli di lato 1/4 ;

- ripetere l’operazione su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati e così via.

SPIRALI

La spirale: la traiettoria descritta da un punto P mobile su una semiretta che ruota attorno al suo centro O; OP è detto raggio vettore (r) della spirale e i tratti curvilinei sono detti spire. Numerosi artisti hanno utilizzato forme a spirale, tra cui l’impressionista Van Gogh

VAN GOGH

SPIRAL JETTY

La Land Art (<<Arte del territorio>>) è nata negli Stati Uniti nel 1969-1970.

Nel 1970 Robert Smithson realizza la Spiral Jetty sul Great Salt Lake. La forma a spirale è fortemente simbolica ed evocativa. Il camminamento in pietre è inserito in un sistema naturale in evoluzione.

JACKSON POLLOCK

Pollock fu l'inventore e il massimo rappresentante della corrente Action Painting che dilega in tutto lo studio dell'artista che diventa anch'esso uno spazio pienamente vissut . Nel 1947, l'artista mise a punto la tecnica del dripping, consistente nell'eliminazione del pennello, che è sostituito da gocciolature di colori sintetici puri su tele o più cartoni distesi al suolo. E' attraverso questa tecnica che nasce il celebre dipinto Pali Blu (1953). Non appena il matematico Richard Taylor si trovò di fronte quest'opera, gli venne spontaneo pensare ai frattali. L'intreccio di linee rifletteva la caratteristica fondamentale del frattale, la "autosomiglianza". Da qui attraverso un'analisi al computer dei suoi quadri si rese conto che le tele gocciolate di Pollock sono frattali di cui e anche possibile calcolare la dimensione, come è andata crescendo nel corso degli anni.

DIDONNA GIOVANNI
lanave domenico

FRATTALI IN MUSICA

Abbiamo sinora visto solo l'aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non è altrettanto gradevole.

L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico.

Secondo i risultati dell'analisi di 558 composizioni musicali è emerso che anche per il ritmo vale quanto già scoperto per l'altezza dei suoni: la musica risulta piacevole quando ha una struttura frattale che permette di realizzare un equilibrio dinamico fra prevedibilità e sorpresa

Un brano di musica che consiste di note scelte a caso ci risulta fastidioso, così come la ripetizione senza fine dello stesso motivo diventa implacabilmente noiosa. A tutti noi piacciono suoni che abbiano una loro struttura e varietà.

In natura esistono tre tipi di rumori (noise):

- rumore bianco, meglio conosciuto come white noise;

- rumore marrone, meglio conosciuto come brown noise;

- rumore rosa, meglio conosciuto come pink noise

scratch frattal art

Credits:

Created with images by jeffwilcox - "pollock" • elbragon - "Pollock" • elbragon - "Pollock" • elbragon - "Pollock" • bogitw - "glass window rosette church window" • Marcelo de Troi - "Eiffel"

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