Una historia breve del calculo El siglo XVII: Newton y Leibniz

El Calculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento mas efectivo para la investigación científica que jamas hayan producido las matemáticas.

Su creación se debe al trabajo independiente de dos matemáticos, el ingles Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes publicaron sus investigaciones entre los a˜nos de 1680 y 1690.

El calculo se desarrollo a partir de las técnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos de problemas: el calculo de áreas y volúmenes y el calculo de tangentes a curvas.

El siglo XVIII: Euler y Lagrange

Obtuvo el doctorado en filosofía a la edad de 21 a˜nos. El interés de Leibniz por las matemáticas nació en 1672 durante una visita a París, donde el matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teoría de curvas. Después de varios años de estudio bajo la dirección de Huygens, Leibniz investigo las relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de números y dedujo varias formulas famosas.

El siglo XVIII: Euler y Lagrange

El siglo XVIII es denominado “El siglo del Análisis Matemático”. De 1700 a 1800 se dio la consolidación del calculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la Mecánica. Con ese desarrollo, vino la especialización y el nacimiento de nuevas ramas de las matemáticas, tales como: la Teoría de Ecuaciones Diferenciales , ordinarias y parciales, el Calculo de Variaciones, la Teoría de Series y la Geometría Diferencial.

El desarrollo del análisis matemático en el siglo XVIII esta documentado en los trabajos presentados en las Academias de París, Birlen, San Petersburgo y otras, así como en los tratados expositor publicados en forma independiente. Las figuras dominantes de este periodo son el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) y el matemático italo-frances Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Leonhard Euler (1707–1783)

Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Imperio ruso, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Joseph-Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (o bien José Luis de Lagrange; Turín, 25 de enero de 1736-París, 10 de abril de 1813), fue un físico, matemático y astrónomo franco-italiano, que después de formarse en su Italia natal pasó la mayor parte de su vida en Prusia y Francia. Lagrange trabajó en Berlín durante veinte años para Federico II de Prusia. Aportó avances transcendentales en múltiples ramas de las matemáticas, desarrolló la mecánica Lagrangiana y fue el autor de novedosos trabajos de astronomía. Tanto por la importancia como por el volumen de sus contribuciones científicas se le puede considerar uno de los físicos y matemáticos más destacados de la historia.

El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass

Al finalizar el siglo XVIII, los matemáticos habían ya detectado distintas limitaciones e incongruencias en las bases sobre las que se había desarrollado hasta entonces el calculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teoría Analítica del Calor, de 1807, remitían a la necesidad de considerar clases mas amplias de funciones que las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de integrabilidad de las funciones, así como las condiciones de convergencia para series de funciones.

Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Augustin Louis Cauchy Mel (París, 21 de agosto de 1789 - Sceaux, Lion 23 de mayo de 1857) fue un matemático francés, miembro de la Academia de Ciencias de Francia y profesor en la Escuela politécnica. Cauchy ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, sólo superado por Leonhard Euler, Paul Erdős y Arthur Cayley con cerca de 800 publicaciones y siete trabajos; su investigación cubre el conjunto de áreas matemáticas de la época. Fue pionero en análisis donde se le debe la introducción de las funciones holomorfas, los criterios de convergencia de series y las series de potencias. Sus trabajos sobre permutaciones fueron precursores de la teoría de grupos, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. En óptica se le atribuyen trabajos sobre la propagación de ondas electromagnéticas.

Bernhard Riemann (1826–1866)

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20 de julio de 1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la hipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.

Karl Weierstrass (1815-1897)

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nació el 31 de octubre de 1815 y murió el 19 de febrero de 1897 fue un matemático alemán conocido como “el padre del análisis moderno”. A pesar de haber dejado la universidad, estudió matemáticas y se entrenó como profesor, dando clases de matemáticas, física y botánica. Weierstrass formalizó la definición de la continuidad de una función, demostrando el teorema del valor medio y el teorema de Bolzano-Weierstrass usado después para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados.

El siglo XX: Lebesgue y Robinson

El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas,pero aunque este fue generalizado después, por Riemann, a funciones con cierto tipo de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los procesos de convergencia y de limite de sucesiones de funciones, lo que restringe su aplicabilidad a otras ramas de la matemática.

Henri Lebesgue (1875–1941)

Nació en Beauvais, Oise, Picardie, Francia. Estudió en la Escuela Normal Superior y en el período 1899 - 1902 impartió clases en el Liceo de Nancy. En 1910 recibió una cátedra en la Universidad de la Sorbona. Lebesgue es fundamentalmente conocido por sus aportes a la teoría de la medida y de la integral. A partir de trabajos de otros matemáticos como Émile Borel y Camille Jordan, Lebesgue realizó importantes contribuciones a la teoría de la medida en 1901. Al año siguiente, en su disertación Intégrale, longueur, aire (Integral, longitud, área) presentada en la Universidad de Nancy, definió la integral de Lebesgue, que generaliza la noción de la integral de Riemann extendiendo el concepto de área bajo una curva para incluir funciones discontinuas. Este es uno de los logros del análisis moderno que expande el alcance del análisis de Fourier.

Abraham Robinson

El otro desarrollo importante del análisis del siglo XX fue presentado en 1960 por Abraham Robinson, seguido de su libro Análisis no Estándar, en el que se retoma el problema de la militarización del análisis a partir del concepto de numero y de magnitud infinitamente pequeña. A partir de construcciones basadas en la teoría de conjuntos, Robinson introdujo el concepto de numero hiperreal con lo que logra dar un significado preciso a los “infinitamente pequeños” que Euler usaba en sus argumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de limite y de convergencia del análisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en la clase de los números hiperreales.

Capitulo 2
Los numeros reales

En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Expansiones decimales

En matemáticas, la representación decimal es una manera de escribir números reales positivos, por medio de potencias del número 10 (negativas y/o positivas). En el caso de los números naturales, la representación decimal corresponde a la escritura en base 10 usual; para los números racionales, se obtiene una representación decimal limitada, o ilimitada periódica si son números periódicos; si son irracionales, la representación decimal es ilimitada y no periódica.

El Sistema de los Numeros Reales

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Operaciones con los numeros reales

En álgebra, una operación es la aplicación de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

La Recta Real

La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera ordenados y separados con la misma distancia.

Capitulo 3
Variables y funciones

En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificado.

Capitulo 4
Fundamentos del Calculo

En general el término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

Capitulo 5
Medida de la razon de cambio: la derivada

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Capitulo 6
Teorema del valor medio y sus aplicaciones

El teorema del valor medio es uno de los resultados mas importantes del análisis matemático. Para las funciones deriva bles, este teorema compara en términos de su derivada, la variación total de la variable dependiente con respecto a la variación de la variable independiente. Sus distintos corolarios y generalizaciones proporcionan criterios útiles para la descripción cualitativa del comportamiento de la función, tanto global mente como en la vecindad de cada punto de su dominio.

Capitulo 7
La funcion exponencial y sus aplicaciones

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

Capitulo 8
La integral indefinida

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración.

Capitulo 9
La integral definida

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Capitulo 10
Aplicaciones de la integral definida

En matemática, una ecuación integral es una ecuación en que la función incógnita aparece dentro de una integral. Existe una conexión estrecha entre las ecuaciones integrales y las ecuaciones diferenciales, y de hecho algunos problemas pueden formularse como ecuación diferencial o equivalentemente como ecuación integral. Ver por ejemplo el modelo de Maxwell de viscoelasticidad.

Capitulo 11
Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones
Ecuación Diferencial y aplicaciones

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la economía, y la biología.

Ecuación Elemental y aplicaciones

En matemáticas o en sus aplicaciones, una ecuación funcional es una ecuación que se expresa a través de una combinación de variables independientes y funciones incógnitas, cuya expresión y valor deben ser resueltos. Es posible determinar las propiedades de las funciones analizando los tipos de ecuaciones funcionales que las mismas satisfacen. El término ecuación funcional está por lo general reservado a ecuaciones que no son fácilmente reducibles a ecuaciones algebraicas: esto se debe a que en muchos casos dos o más funciones conocidas son substituidas como argumentos de una función incógnita, que debe ser resuelta.

Capitulo 12
Series

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

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