Una Breve Historia De Calculo

Calculo diferencial e integral ha siddo reconocido como el instrumento mas efectivo para la investigacion cientifica que jamas haya producido las matematicas.Su creacion se debe al trabajo independiente de dos matematicas, el ingles Isaac newton (1642-1727) y el aleman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

El calculo se desarrollo a partir de las tecnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos de problemas: el calculo de areas y volumenes y el calculo de tangentes a curvas.

En la primera mitad del sigloo XVII se renovo el interes por esos problemas clasicosy varios matematicos como Bonaventura, John Wallis, Pierre de Fermat, Gilles de Roberval e Isaac Barrow lograron avances que prepararon el camino para la obra de leibniz y newton.

A partir para la utilizacion del metodo cartesiano para sintetizar los Resultados y Técnicas desarrollados los Métodos y Algoritmos Que Hacen del calculo Una herrramienta APLICABLE una clases generales de Problemas.

Newton hijo de granjeros nacio en inglaterra el dia de navidad de 1642 y llego en 1669 a ocupar la universidad de Cambridge . En sus primeras investigaciones introdjo las series infinitas de potencias en una variable X para reformular resultados previos de John wallis y bajo la influencia de su profesor isaac Barrow utilizo infinitesimales para mostrar la relacion inversa entre el calculo de tangentes

En la precentacion de sus ideas newton recurre a argumentos basados en el movimiento y en la dinamica de los cuerpos. El problema basico de calculo es, para newton el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En su libro principios matematicos de la filosofia natural, escrito en 1687 newton estudia la dinamica de las particulas y establece las bases matematicas para el calculo de razones de cambio mediante una teoria geometrica de los limites.

en su libro newton expresa magnitudes y razones de cambio en terminos de cantidades geometricas, tanto de tipo finito como infinitesimal, tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguaje algebraico. En el campo de las matematicas e hizo necesario reformular su contribuciones en termino de calculo en leibniz.

Leibniz se intereso en las cuestiones de logica y de notacion para la investicacion formal y su calculo infinitesimal es el ejemplo supremo en todas las ciencias y las matematicas de un sistema de notacion y terminologia perfectamente adaptado a su objeto de estudio.

El vigoroso empuje de leibniz al estudio y desarrollo del nuevo calculo, el espiritu dicatdo de sus escritos y su habilidad para relacionarse con otros investigadores contribuyeron a fortalecer su gran influencia en las matematicas. Mantuvo una estrecha colaboración con otros estudios de su época, incluyendo los hermanos Juan y Jacobo Bernoulli.

EL SIGLO XVIII: EULER Y LAGRANGE

El siglo del analisis matematico se dio la consolidacion de calculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la mecanica. Con este desarrollo, vino la especializacion y el nacimiento de nuevas ramas de las matematicas, tales como: La teoria de ecuaciones diferenciales, ordinarias y parciales, el calculo de variaciones, la teoria de series y la geometria diferencial.

El desarrollo del analisis matematico en el siglo XVIII esta documentado en los trabajos precentados en las academias de parís, berlín, san petersburgo y otras, asi como en los tratados expositorios publicados en forma independiente. Las figuras dominantes de este periodo son el matematico suizo Leonhard Euler y el matematico Italo frances Joseph Louiz Lagrange.

Euler nacio en basilea, suiza, y completo su educacion universitaria a la edad de 15 años. La carrera profecional de euler se desarrollo en la real academia de san petersburgo, rusia y en la academia de berlin.

El analisis matematico es construido a partir de consepto fundamental de funcion de los procesos infinitos desarrollados para la reprecentacion y estudio de las funciones. En esa gran obra, por primera vez reprecenta el estudio sistematico de las funciones exponenciales y de las funciones trigonometricas como funciones numericas, asi como el estudio de las funciones transcedentes elementales mediante sus desarrollos en series infinitas.

El matematico Joseph Louiz Lagrange, quien a la muerte de Euler, lo remplazo como el matematico lider de europa. Aplicando metodos puramente analiticos, Lagrange extedio y perfecciono el calculo de variaciones y apartir de sus aplicaciones a la mecanica, sento los fundamentos de la llamada mecanica analitica. Es decir, Lagrange hace de la mecanica una rama de analisis matematico.

Los argumentos basados en la teoria de fluxiones de newton y en la idea de infinitamente pequeño mostraban serias inconsistencias que fueron puntualmente señaladas por el obispo anglicano irlandes George Berkeley . El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son reprecentables como series de potencias, cuyos coeficientes define las diversas de los distintos ordenes. En este tratado, Lagrenge sienta la base para la aproximacion de funciones polinomios y da la forma del residuo denominada residuo de lagrenge.

EL SIGLO XIX: CAUCHY, RIEMANN Y WEIERSTRASS

El consepto de continuidad de una funcion aparece explicitamente definido, como por primera vez, en el trabajo del matematico checo Bernhard Bolzano, pero es el matematico frances Agustin Louiz Cauchy quien desarrolla en su generalidad la teoria de funciones continuas y formula los conceptos y procesos fundamentales del calculo para este tipo de funciones en los terminos en que actualmente se precentan.

El siguiente avance en la evolucion historica de calculo, se debe a Bernhard Friemann, quien introdujo las funciones ecencialmente descontinuas en el desarrollo del calculo, extendido el proceso de integracion a este tipo de funciones, con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, area y volumen de conjuntos.

La construccion de numeros reales es el paso de decisivo hacia la aritmetizacion del analisis matematico, que permiten al mismo karl Weierstrass da la definicion de limite en terminos de las meras estructuras algebraicas y de orden de los numeros reales, y con ellos los conseptos y procesos propios del calculo quedan dibididamente justificados y adquieren la presentacion definitiva con que hoy son expuestos en los libros de texto y demas trabajos matematicos.

EL SIGLO XX: LEBESGUE Y ROBINSON.

El concepto de integrar desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas, pero aunque este fue generalizado despues, por Riemann, a funciones con ciento tipo de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los procesos de convergencia y de limite de sucesiones de funciones, lo que restringe su aplicablidada otras ramas de la matematica.

Basado en trabajos de italiano Giuceppe Peano y del frances Camille Jordan, Henrri Lebesgue logro dar, en 1920 una definicion de conjunto mediable que generaliza, en la recta, las nociones de intervalo y de longitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos, Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones mediables, para las cuales adquieren sentido una nueva definicion de integral, definida como el limite de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos mediables.

La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propiedades inmejorables para los propositos del analisis matematico en tanto que limites de sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resulta ser tambien funciones integrables.

El otro desarrollo importante del analisis del siglo XX fue precentado en 1960 por Abraham Robinson en el que se retoma el problema de la aritmetizacion del analisis a partir del consepto del numero de magnitud infinitivamente pequeña. A partir de construcciones basadas en la teoria de conjuntos, Robinson introdujo el concepto de numeros hiperreal con lo que logra dar un significado preciso a los infinitamente pequeños que Euler usaba en sus argumentos y demostraciones.

Aunque la nueva formulacion de Robinson da lugar a un calculo mas simple, la construccion de los numeros hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se expone el calculo no estándar no han logrado tener éxito en los niveles matematicos medio y basico.

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