FUNDAMENTOS DE CALCULO una historia breve del calculo

siglo XVII: Newton y Leibniz

El Calculo Diferencial e Integral ha Sido reconocido Como el Instrumento mas Efectivo para la Investigación Científica Que jamas Hayan Producido las matemáticas. Concebido para el Estudio del Cambio, el movimiento y la Medición de Áreas y Volúmenes, el calculo es la Invención Que caracterizó la revolucioncientıfica del siglo XVII. Su creación se Debe al Trabajo independiente de dos matemáticos, el ingles Isaac Newton (1642-1727) y el aleman Gottfried Leibniz (1646-1716), Quienes publicaron SUS Investigaciones Entre los años de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la Revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Mathematica Philosophiae Naturalis. El c´alculo se desarroll´o a partir de las t´ecnicas infinitesimales utilizadas pararesolver dos tipos de problemas: el c´alculo de ´areas y vol´umenes y el c´alculo detangentes a curvas. Arqu´ımedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos antiguos,hab´ıa realizado los avances m´as significativos sobre esos problemas, aplicandoel m´etodo exhaustivo o de agotamiento para la determinaci´on de ´areas y vol´umenes

ISAAC NEWTON (1643-1727)

Newton, hijo de granjeros, naci´o en Lincolnshire, Inglaterra, en el d´ıa de Navidad de 1642 y lleg´o en 1669 a ocupar, en la Universidad de Cambridge, la Catedra Lucasiana como profesor de matematicas. En sus primeras investigaciones introdujo las series infinitas de potencias en una variable x para reformular resultados previos de John Wallis y bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utilizo infinitesimales para mostrar la relacion inversa entre el calculo de areas y el calculo de tangentes. Las operaciones de derivacion e integracion de funciones y su relacion reciproca, emergen como un proceso analitico que puede ser aplicado al estudio general de las curvas.Newton recurre a argumentos basados en el movimiento y la dinamica de los cuerpos. As´ı, las variables son vistas como algo que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o razon de cambio con respecto al tiempo la llama su fluxion. El problema basico del calculo es, para Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newton concluye su tratado sobre el metodo de fluxiones que no es publicado sino hasta 1736, casi diez años despues de su muerte, ocurrida en 1727.

Gottfried Leibniz (1646-1716)

hijo de un profesor de filosofia y nacio en la ciudad de Leipzig, Alemania, en 1646. Ingreso a la universidad a la edad de quince a˜nos y obtuvo el doctorado en filosofia a la edad de 21 a˜nos. El interes de Leibniz por las matematicas nacio en 1672 durante una visita a Paris, donde el matematico holandes Christiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teoria de curvas. Despues de varios a˜nos de estudio bajo la direccion de Huygens, Leibniz investigo las relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de numeros y dedujo varias f´ormulas famosasLeibniz se interes´o en las cuestiones de logica y de notacion para la investigacion formal, y su calculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las matematicas, de un sistema de notacion y terminologia perfectamente adaptado a su objeto de estudio. En el sentido anterior, Leibniz formalizo, con su notacion, las propiedades y reglas fundamentales de los procesos de derivacion e integracion, haciendo de su aplicacion a los mas variados problemas, un ejercicio de rutina que un estudiante puede aprender desde sus primeros a˜nos. Su primera publicacion sobre el calculo diferencial apareci´o en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el t´ıtulo Un nuevo m´etodo para maximos y minimos asi como para el c´alculo de tangentes que incluyen cantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de c´alculo para todo esto. En este articulo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas basicas del calculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx.

El siglo XVIII: Euler y Lagrange

El siglo XVIII es denominado “El siglo del Analisis Matematico”. De 1700 a 1800 se di´o la consolidacion del calculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la Mecanica. Con ese desarrollo, vino la especializacion y el nacimiento de nuevas ramas de las matematicas, tales como: la Teoria de Ecuaciones Dife-renciales,, ordinarias y parciales, el C´alculo de Variaciones, la Teor´ıa de Series y la Geometr´ıa Diferencial. Las aplicaciones del an´alisis incluyen ahora la Teoria de Vibraciones, la Din´amica de Part´ıculas, la Teor´ıa de Cuerpos R´ıgidos, la Mecanica de Cuerpos El´asticos y Deformables y la Mec´anica de Fluidos. A partir de entonces, se distinguen las matem´aticas puras de las matem´aticas aplicadas. El desarrollo del an´alisis matem´atico en el siglo XVIII est´a documentado en los trabajos presentados en las Academias de Par´ıs, Berl´ın, San Petersburgo y otras, as´ı como en los tratados expositorios publicados en forma independiente.

Leonhard Euler (1707-1783)

Euler naci´o en Basilea, Suiza, y complet´o se educaci´on universitaria a la edad de quince a˜nos. Es considerado el matem´atico m´as prol´ıfico de todos los tiempos, sus obras abarcan casi setenta y cinco vol´umenes y contienen contribuciones fundamentales a casi todas las ramas de las matem´aticas y sus aplicaciones. La carrera profesional de Euler se desarroll´o en la Real Academia de San Petersburgo, Rusia (1727-1741 y 1766-1783) y en la Academia de Berl´ın (1741-1766). La obra de Euler en dos vol´umenes intitulada Introducci´on al an´alisis infinitesimal, publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado An´alisis Matem´atico como rama de esta disciplina, an´aloga al Algebra y la Geometr´ıa. El An´alisis ´ Matem´atico es construido a partir del concepto fundamental de funci´on y de los procesos infinitos desarrollados para la representaci´on y estudio de las funciones.El enfoque anal´ıtico de Euler recibi´o un gran impulso de la otra gran figura del siglo XVIII,

Joseph-Louis de Lagrange (1737-1813)

El matem´atico Joseph Louis Lagrange, quien a la muerte de Euler, en1783, lo reemplaz´o como el matem´atico l´ıder de Europa. Aplicando m´etodos puramente anal´ıticos, Lagrange extendi´o y perfeccion´o el C´alculo de Variaciones y a partir de sus aplicaciones a la mec´anica, sent´o los fundamentos de la llamada Mec´anica Anal´ıtica. En 1788 se public´o su famoso tratado Mec´anica Anal´ıtica en donde, aplicando las ideas del c´alculo de variaciones, presenta los fundamentos anal´ıticos de la mec´anica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposici´on s´olo recurre a argumentos anal´ıticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mec´anicos. Es decir, Lagrange hace de la mec´anica una rama del an´alisis matem´atico. Para fines del siglo XVIII hab´ıa preocupaci´on en Europa por los fundamentos del c´alculo y del an´alisis. Los argumentos basados en la teor´ıa de fluxiones de Newton y en la idea de infinitamente peque˜no mostraban serias inconsistencias que fueron puntualmente señaladas por el obispo anglicano irland´es George Berkeley (1685-1753) en 1734. Afrontando la situaci´on anterior, Lagrange public´o en 1797 su obra Teor´ıa de funciones anal´ıticas en la cual pretende presentar un desarrollo completo del c´alculo de funciones sin recurrir a los conceptos de l´ımite o de cantidad infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de los distintos ´ordenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproximaci´on de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo de Lagrange.

El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass

Al finalizar el siglo XVIII, los matem´aticos hab´ıan ya detectado distintas limitaciones e incongruencias en las bases sobre las que se hab´ıa desarrollado hasta entonces el c´alculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teor´ıa Anal´ıtica del Calor, de 1807, remit´ıan a la necesidad de considerar clases m´as amplias de funciones que las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de integrabilidad de las funciones, as´ı como las condiciones de convergencia para series de funciones. El concepto de continuidad de una funci´on aparece expl´ıcitamente definido, por primera vez, en el trabajo del matem´atico checo Bernhard Bolzano (1781-1848)

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

El matem´atico franc´es Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien desarrolla en su generalidad la teor´ıa de funciones continuas y formula los conceptos y procesos fundamentales del c´alculo para ese tipo de funciones en los t´erminos en que actualmente se presentan. En sus tres grandes obras Curso de An´alisis (1821), Resumen de Lecciones sobre el C´alculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el C´alculo Diferencial (1829), Cauchy hace una exposici´on rigurosa del c´alculo bas´andose en el concepto fundamental de l´ımite de una funci´on. En particular, define la derivada de una funci´on como el l´ımite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestrasus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones asus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones a la aproximaci´on de funciones por polinomios;establece rigurosamente los criterios para la existencia de m´aximos y m´ınimos de funciones; define la integral definida de una funci´on continua en un intervalo mediante el l´ımite de sumas asociadas a particiones de ese intervalo; y formula, con todo rigor, el llamado teorema fundamental del c´alculo, estableciendo la relaci´on inversa que existe entre los procesos de derivaci´on e integraci´on de funciones.

Bernhard F. Riemann (1826-1866)

El siguiente avance en la evoluci´on hist´orica del c´alculo, se debe a Bernhard F. Riemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el desarrollo del c´alculo, extendiendo el proceso de integraci´on a este tipo de funciones, con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´area y volumen de conjuntos. A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al an´alisis matem´aticode bases s´olidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de los n´umeros reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las funciones continuas, y otras suposiciones, como por ejemplo la existencia de derivada en casi todos los puntos para toda funci´on continua, son se˜naladas cr´ıticamente y desmentidas por contundentes contraejemplos

Karl Weierstrass (1815-1897)

Bolzano y el alem´an Karl Weierstrass (1815-1897) quienes, por ejemplo, logran exhibir funciones continuas que no poseen derivada en punto alguno. Ese tipo de situaciones, obliga a los matem´aticos al estudio y construcci´on del sistema de los n´umeros reales a partir del sistema de los n´umeros naturales. El a˜no de 1872 registra la publicaci´on, casi simult´anea, de construcciones de los n´umeros reales debidas a Georg Cantor (1845-1918), Richard Dedekind (1831-1916) y Edward Heine (1821- 1881), basadas en los conceptos de l´ımite y sucesiones, previamente desarrollados. La construcci´on de los n´umeros reales es el paso decisivo hacia la aritmetizaci´on del an´alisis matem´atico, que permite al mismo Karl Weierstrass dar la definici´on de l´ımite en t´erminos de las meras estructuras algebraicas y de orden de los n´umeros reales, y con ello los conceptos y procesos propios del c´alculo quedandebidamente justificados y adquieren la presentaci´on definitiva con que hoy son expuestos en los libros de texto y dem´as trabajos matem´aticos.

El siglo XX: de Lebesgue y Robinson

Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el desarrollo del an´alisis: la integral de Lebesgue, debida al franc´es Henri Lebesgue (1875-1941), y el An´alisis no-Est´andar, debido b´asicamente a Abraham Robinson (1918-1974). El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas, pero aunque ´este fue generalizado despu´es, por Riemann, a funciones con cierto tipo de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los procesos de convergencia y de l´ımite de sucesiones de funciones, lo que restringe su aplicablidad a otras ramas de la matem´atica.

Henri Lebesgue (1875–194)

Basado en trabajos del italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del franc´es Camille Jordan (1838-1922), Henri Lebesgue logr´o dar, en 1920, una definici´on de conjunto medible y de medida que generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y de longitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos, Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para las cuales adquiere sentido una nueva definici´on de integral, definida como el l´ımite de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. En este sentido, la integral de Lebesgue es una generalizaci´on de la integral de Riemann, que se obtiene como el l´ımite de integrales de funciones que toman valores constantes sobre intervalos.La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propiedades inmejorables para los propositos del an´alisis matem´atico en tanto que l´ımites de sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resultan ser tambi´en funciones integrables. La nueva teor´ıa de la medida e integraci´on sienta las bases para el desarrollo de la Teor´ıa Matem´atica de la Probabilidad y la Estad´ıstica, que tanta importancia tienen en la ciencia actual.

Abraham Robinson (1918–1974)

El otro desarrollo importante del an´alisis del siglo XX fu´e presentado en 1960 por Abraham Robinson, seguido de su libro An´alisis no Est´andar, en el que se retoma el problema de la aritmetizaci´on del an´alisis a partir del concepto de n´umero y de magnitud infinitamente peque˜na. A partir de construcciones basadas en la teor´ıa de conjuntos, Robinson introdujo el concepto de n´umero hiperreal con lo que logra dar un significado preciso a los “infinitamente peque˜nos” que Euler usaba en sus argumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de l´ımite y de convergencia del an´alisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en la clase de los n´umeros hiperreales. Aunque la nueva formulaci´on de Robinson da lugar a un c´alculo m´as simple, la construcci´on de los n´umeros hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se expone el c´alculo no est´andar no han logrado tener ´exito en los niveles matem´aticos medio y basico.

Created By
Darian Callejas
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