una breve historia de calculo

El C´alculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento m´as efectivo para la investigaci´on cient´ıfica que jam´as hayan producido las matem´aticas. Concebido para el estudio del cambio, el movimiento y la medici´on de ´areas y vol´umenes, el c´alculo es la invenci´on que caracteriza la revoluci´on cient´ıfica del siglo XVII. Su creaci´on se debe al trabajo independiente de dos matem´aticos, el ingl´es Isaac Newton (1642-1727) y el alem´an Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes publicaron sus investigaciones entre los a˜nos de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Mathematica Philosophiae Naturalis

El siglo XVII: Newton y Leibniz
El siglo XVIII: Euler y Lagrangeobtuvo el doctorado en filosof´ıa a la edad de 21 a˜nos. El inter´es de Leibniz por las matem´aticas naci´o en 1672 durante una visita a Par´ıs, donde el matem´atico holand´es Christiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teor´ıa de curvas. Despu´es de varios a˜nos de estudio bajo la direcci´on de Huygens, Leibniz investig´o las relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de n´umeros y dedujo varias f´ormulas famosas. Leibniz se interes´o en las cuestiones de l´ogica y de notaci´on para la investigaci´on formal, y su c´alculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las matem´aticas, de un sistema de notaci´on y terminolog´ıa perfectamente adaptado a su objeto de estudio. En el sentido anterior, Leibniz formaliz´o, con su notaci´on, las propiedades y reglas fundamentales de los procesos de derivaci´on e integraci´on, haciendo de su aplicaci´on a los m´as variados problemas, un ejercicio de rutina que un estudiante puede aprender desde sus primeros a˜nos. Su primera publicaci´on sobre el c´alculo diferencial apareci´o en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el t´ıtulo Un nuevo m´etodo para m´aximos y m´ınimos as´ı como para el c´alculo de tangentes que incluyen cantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de c´alculo para todo esto. En este art´ıculo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas b´asicas del c´alculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx. Dos a˜nos despu´es, publica su segundo art´ıculo Sobre una geometr´ıa oculta, donde introduce y explica el significado del s´ımbolo R de integraci´on y aplica el poder del c´alculo para estudiar curvas trascendentes y deriva una f´ormula anal´ıtica para la cicloide
El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass 17 1783, lo reemplaz´o como el matem´atico l´ıder de Europa. Aplicando m´etodos puramente anal´ıticos, Lagrange extendi´o y perfeccion´o el C´alculo de Variaciones y a partir de sus aplicaciones a la mec´anica, sent´o los fundamentos de la llamada Mec´anica Anal´ıtica. En 1788 se public´o su famoso tratado Mec´anica Anal´ıtica en donde, aplicando las ideas del c´alculo de variaciones, presenta los fundamentos anal´ıticos de la mec´anica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposici´on s´olo recurre a argumentos anal´ıticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mec´anicos. Es decir, Lagrange hace de la mec´anica una rama del an´alisis matem´atico. Para fines del siglo XVIII hab´ıa preocupaci´on en Europa por los fundamentos del c´alculo y del an´alisis. Los argumentos basados en la teor´ıa de fluxiones de Newton y en la idea de infinitamente peque˜no mostraban serias inconsistencias que fueron puntualmente se˜naladas por el obispo anglicano irland´es George Berkeley (1685-1753) en 1734. Afrontando la situaci´on anterior, Lagrange public´o en 1797 su obra Teor´ıa de funciones anal´ıticas en la cual pretende presentar un desarrollo completo del c´alculo de funciones sin recurrir a los conceptos de l´ımite o de cantidad infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de los distintos ´ordenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproximaci´on de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo de Lagrange
El siglo XX: Lebesgue y Robinson Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el desarrollo del an´alisis: la integral de Lebesgue, debida al franc´es Henri Lebesgue (1875-1941), y el An´alisis no-Est´andar, debido b´asicamente a Abraham Robinson (1918-1974). El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas, pero aunque ´este fue generalizado despu´es, por Riemann, a funciones con cierto tipo de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los procesos de convergencia y de l´ımite de sucesiones de funciones, lo que restringe su aplicablidad a otras ramas de la matem´atica. Basado en trabajos del italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del franc´es Camille Jordan (1838-1922), Henri Lebesgue logr´o dar, en 1920, una definici´on de conjunto medible y de medida que generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y de longitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos, Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para las cuales adquiere sentido una nueva definici´on de integral, definida como el l´ımite de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. En este sentido, la integral de Lebesgue es una generalizaci´on de la integral de Riemann, que se obtiene como el l´ımite de integrales de funciones que toman valores constantes sobre intervalos.

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